求和1^2+2^2+3^2+......+n^2
1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6。
证明过程如下：
n^2=n(n+1)-n
1^2+2^2+3^2+.+n^2
=1*2-1+2*3-2+.+n(n+1)-n
=1*2+2*3+...+n(n+1)-(1+2+...+n)
由于n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3
所以1*2+2*3+...+n(n+1)
=[1*2*3-0+2*3*4-1*2*3+.+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3
前后消项：
=[n(n+1)(n+2)]/3
所以1^2+2^2+3^2+.+n^2
=[n(n+1)(n+2)]/3-[n(n+1)]/2
=n(n+1)[(n+2)/3-1/2]
=n(n+1)[(2n+1)/6]
=n(n+1)(2n+1)/6
扩展资料：
常用证明方法：
1、综合法。综合法是一种从题设到结论的逻辑推理方法，也就是由因导果的证明方法。
2、分析法。分析法是一种从结论到题设的逻辑推理方法，也就是执果索因法的证明方法。分析法的证明路径与综合法恰恰相反。
3、反证法。由于原命题与逆否命题等效，所以当证明原命题有困难或者无法证明时，可以考虑证明它的逆否命题，通过正确推理如果逆否命题正确或者推出与原命题题设、公理、定理等不相容的结论，从而判定结论的反面不成立，也就证明了原命题的结论是正确的。
反证法视逆否命题的题设也就是原命题的结论的反面的情况又分为两种：
1）归谬法：若结论的反面只有一种情况，那么把这种情况推翻就达到证明的目的了。
2）穷举法：若结论的反面不只一种情况，则必须将所有情况都驳倒，这样才能达到证明的目的。
解题过程如下：
扩展资料数学归纳法性质：
数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立。除了自然数以外，广义上的数学归纳法也可以用于证明一般良基结构，例如：集合论中的树。这种广义的数学归纳法应用于数学逻辑和计算机科学领域，称作结构归纳法。
在数论中，数学归纳法是以一种不同的方式来证明任意一个给定的情形都是正确的（第一个,第二个，第三个，一直下去概不例外）的数学定理。
虽然数学归纳法名字中有“归纳”，但是数学归纳法并非不严谨的归纳推理法，它属于完全严谨的演绎推理法。事实上，所有数学证明都是演绎法。
自然数集是良序的。（每个非空的正整数集合都有一个最小的元素）比如{1, 2, 3 , 4, 5}这个正整数集合中有最小的数——1.
证明数学归纳法：
对于一个已经完成上述两步证明的数学命题，我们假设它并不是对于所有的正整数都成立。
对于那些不成立的数所构成的集合S，其中必定有一个最小的元素k。（1是不属于集合S的，所以k>1）
k已经是集合S中的最小元素了，所以k-1是不属于S，这意味着k-1对于命题而言是成立的——既然对于k-1成立，那么也对k也应该成立，这与我们完成的第二步骤矛盾。所以这个完成两个步骤的命题能够对所有n都成立。
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
另外一个很好玩的做法
想像一个有圆圈构成的正三角形，
第一行1个圈，圈内的数字为1
第二行2个圈，圈内的数字都为2，
以此类推
第n行n个圈，圈内的数字都为n，
我们要求的平方和，就转化为了求这个三角形所有圈内数字的和。设这个数为r
下面将这个三角形顺时针旋转60度，得到第二个三角形
再将第二个三角形顺时针旋转60度，得到第三个三角形
然后，将这三个三角形对应的圆圈内的数字相加，
我们神奇的发现所有圈内的数字都变成了2n+1
而总共有几个圈呢，这是一个简单的等差数列求和
1+2+……+n=n(n+1)/2
于是3r=[n(n+1)/2]*(2n+1)
r=n(n+1)(2n+1)/6
设1/2+2/2^2+3/2^3+...+n/2^n=S
则（1/2）S=1/2^2+2/2^3+...+n-1/2^n+n
/2^n+1
S-(1/2)S=1/2+1/2^2+1/2^3+...+1/2^n-n
/2^n+1=(1/2)S
前n项用等比数列的求和公式，再减去1/2^n+1.就是S的一半，最后乘以2就是了
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
……
2^3-1^1=3*1^2+3*1+1
都加起来，左边中间正负抵消
(n+1)^3-1^3=3*[n^2+(n-1)^2+……+1^2]+3*[n+(n-1)+……+1]+1*n
n+(n-1)+……+1=n(n+1)/2
所以n^3+3n^2+3n=3*[n^2+(n-1)^2+……+1^2]+3n(n+1)/2+n
n^2+(n-1)^2+……+1^2=[n^3+3n^2+3n-3n(n+1)/2-n]/3
=[n^3+3n^2+2n-3n(n+1)/2]/3
=[n(n+2)(n+1)-3n(n+1)/2]/3
=(n+1)[n(n+2)-3n/2]/3
=(n+1)(2n^2+4n-3n)/6
=(n+1)(2n^2+n)/6
=n(n+1)(2n+1)/6
没有ls说的那么难，可以用(a+b)^3的展开式和1+2+...+n=n(n+1)/2证明n*(n+1)*(2*n+1)/6
n*(n+1)*(2*n+1)/6
计算过程涉及大学极限的东西了，
怎么证明1^2+2^2+3^2+……+n^2的求和公式
答：n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]=n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n n^3-1^3 =2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2 =(n/2)(n+1)(2n+1)1^2+2...
求数列前n项和1^2+2^2+3^2……n^2
答：简单计算一下即可，答案如图所示
如何利用等差等比数列求和公式计算平方和?
答：我们可以使用等差等比数列求和公式来计算平方和。 首先，我们需要知道等差数列的求和公式： S_n = n/2 * (2a + (n-1)d) 其中，S_n 是前n项的和，a是首项，d是公差，n是项数。 对于等比数列，其求和公式为： S_n = a*(1 - r^n) / (1 - r) 其中，S_n 是前n项的和，a是首...
求和公式西格玛的用法"∑"怎么用?
答：求和公式西格玛的用法：i表示下界，n表示上界， k从i开始取数，一直取到n，全部加起来。举例如下：∑（i=1，n=5）k=1+2+3+4+5=15。下界i写作下面的横线下面，上界写在上面的横线上面，k写在两个横线的中间，具体写法如下图：∑ (求和符号）英语名称：Sigma 汉语名称：西格玛（大写Σ，小写σ...
自然数平方数列和立方数列求和公式怎么推导
答：例如：2^3= (1+1)^3 =1^3+3*1^2+3*1+1 3^3= (2+1)^3 =2^3+3*2^2+3*2+1 4^3= (3+1)^3 =3^3+3*3^2+3*3+1 . . . . . .(n+1)^3=(n+1)^3=n^3+3*n^2+3n+1 去掉中间步，将右边第一项移到左边得：2^3 - 1^3=3*1^2+3*1+1 3^3 - 2^...
求1^2+2^2+3^2+……+n^2 的和怎么计算,详细过程,谢谢Ծ‸Ծ_百度...
答：1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6。解题过程如下：解：因为（n+1）^3=n^3+3n^2+3n+1 则（n+1）^3-n^3=3n^2+3n+1 n^3-（n-1）^3=3（n-1）^2+3（n-1）+1 ...3^3-2^3=3*2^3+3*2+1 2^3-1^3=3*1^3+3*1+1 把等式两边同时求和得，（n+...
求数列前n项和1^2+2^2+3^2……n^2
答：1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 证法一 n^2=n(n+1)-n 1^2+2^2+3^2+...+n^2 =1*2-1+2*3-2+...+n(n+1)-n =1*2+2*3+...+n(n+1)-(1+2+...+n)由于n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3 所以1*2+2*3+...+n(n+1)=[...
对式子:1^2+2^2+3^2+……+n^2求和
答：先做第一步： 1+2+3+……+n=n(n+1)/2 （这个不用证明了吧，应该会！）第二步： 1^2+2^2+3^2+...+n^2=? 过程如下： ∵(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1 ∴2^3-1^3=3*1^2+3*1+1 3^3-2^3=3*2^2+3*2+1 4^3-3^3=3*3^2+3*3+1 ... (n+1)^3-n^3=3n...
数列求和 1^2 +3^2 +5^2 +...+(2n-1)^2 的和的公式
答：我们知道1^2+2^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6(证明省略)那么1^2+2^2+...+(2n)^2=n(2n+1)(4n+1)/32^2+4^2+.+(2n)^2=4*(1^2+2^2+.+n^2)=2n(n+1)(2n+1)/3故1^2+3^2+...+(2n-1)^2=n(2n+1)(4n+1)/3-2n(n+1)(2n+1)/3==n(2n-1)(2n...
1+2^2+3^2+4^2+...+(n-1)^2 怎么求和??
答：1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 注意减1.套公式
