已知各项均为正数的数列｛an}的前n项和为Sn,且6Sn=（an+1)(an+2),n为正整数，设数列｛bn}满足
因为A1=S1
==>6A1==A1^2+3A1+2，因为A1>0解得A1=1或2
因为6Sn=An^2+3An+2
...........①
当n≥2时有
6S=A^2+3A+2...........②
由①-②可得6(Sn-S)=An²-A²+3An-3A
因为Sn-S=An
==>An²-A²+3An-3A=6An
即An²-A²-3An-3A=0
(An-A)(An+A)-3(An+A)=0
(An+A)(An-A-3)=0
因为An>0
A>0
所以An-A-3=0==>An-A=3
所以数列{An}是一个以1或2为首项,3为公差的等差数列
所以An=1+3(n-1)=3n-2
或An=2+3(n-1)=3n-1
(I)由a1=S1=-(a1+1)(a1+2)，解得a1=1或a1=2，
由假设a1=S1>1，因此a1=2，
又由an+1=Sn+1-Sn=-(an+1+1)(an+1+2)--(an+1)(an+2)，
得(an+1+an)(an+1-an-3)=0，
即an+1-an-3=0或an+1=-an，因an>0，故an+1=-an不成立，舍去。
因此an+1-an=3，从而{an}是公差为3，首项为2的等差数列，
故{an}的通项为an=3n-1。
(II)证明：用比较法。由an(--1)=1可解得
bn=log2(1+-)=log2-；
从而Tn=b1+b2+……+bn=log2(-·■……-)。
因此3Tn+1-log2(an+3)=log2(-·■……-)3·■。
令f(n)=(-·■……-)3·■，
则-=-·（-)3=-。
因(3n+3)3-(3n+5)(3n+2)2=9n+7>0，故f(n+1)>f(n)。
(1)假设是1
继续代入可知a2=4，a3=7，a4=10
假设an=3n-2，利用数学归纳法可知an=3n-2符合条件（猜的，没算过，也许a1=2才是对的，如果a1=2才是对的，用一样的方法可以得出结论）
因为an【｛2∧bn}-1】=1，所以2^bn=（3n-1）/（3n-2）<1（分子比分母小），所以bn<0
所以Tn<0，又因为an=3n-2即an+3=3n+1>=4可知log2[an+3]>=2>1，2Tn+1<1
所以2Tn+1<log2[an+3]
(2)同理可知a1=2，a2=5，a3=8，a4=11时an=3n-1
一样的方法，应该也是符合条件的，就算a1=1或者a1=2有一个不符合也不影响（舍去就好）
有2^bn=3n/（3n-1）<1，所以bn<0
所以Tn<0，又因为an=3n-1即log2(an+3)=log2(3n+2)>2(n>=1)可知log2[an+3]>2>1，2Tn+1<1
所以2Tn+1<log2[an+3]
已知数列{an}的各项均为正数,记A(n)=a1+a2+…+an,B(n)=a2+a3+…+an+...
答：即an+2-an+1=a2-a1=4． 所以an=1+（n-1）×4=4n-3． （5分）（2）若对于任意n∈N*，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列，则B（n）=qA（n），C（n）=qB（n）．所以C（n）-B（n）=q[B（n）-A（n）]，得an+2-a2=q（an+1-a1）...
已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=(an²+an)/2...
答：an>0 n=1时 S1=a1=(a1²+a1)/2 ∴a1=1 n>=2时 S(n-1)=(a(n-1)²-a(n-1))/2 an=Sn-S(n-1)∴(an+a(n-1))(an-a(n-1)-1)=0 an>0 ∴an-a(n-1)=1 ∴{an}是等差数列 an=1+n-1=n a2=2,a3=3 （3）(2^n)▪a1▪a2...an≥M...
已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且Sn,an,1/2成等差数列
答：由题意 2an=Sn+1/2 Sn=2an-1/2 n=1时，S1=a1 a1=2a1-1/2 a1=1/2 S(n+1)-Sn=a(n+1)2a(n+1)-1/2-[2an-1/2]=a(n+1)a(n+1)=2an 因此{an}是等比数列，首项1/2，公比2 an=（1/2）*2^(n-1)=2^(n-2)Sn,an,1/2成等差数列 2an=1/2+Sn 2an-1=1/2...
已知数列{an}各项均为正数,其前n项和为Sn,且(an+1)^2=4Sn,数列{bn}满...
答：即an-a(n-1)-2=0、an-a(n-1)=2。所以，{an}是首项为1、公差为2的等差数列，an=2n-1，n为正整数。b(n+1)=a(bn)=2bn-1、b(n+1)-1=2(bn-1)。所以数列{bn-1}是首项为b1-1=2、公比为2的等比数列。bn-1=2^n、bn=2^n+1，n为正整数。(2)cn=2^n/[bn*b(n+1)]...
已知数列{an}的各项均为正数,且满足a2=5,an+1=an2?2nan+2,(n∈N*...
答：2n+1)+2n?1．Tn=（a1+b1）+（a2+b2）+（a3+b3）+…+（an+bn）=（a1+a2+a3…+an）+（b1+b2+b3+…+bn）=[3+5+7+…+（2n+1）]+（1+2+4+…+2n-1）=n[3+(2n+1)]2+1?(1?2n)1?2=（n2+2n）+（2n-1）=2n+n2+2n-1．所以数列{cn}的前n项和Tn为2n+n2+2n-1．
已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=an(an+1)(n∈N)(2...
答：2a(n)=2S(n)-2S(n-1)=a(n)(a(n)+1)-a(n-1)(a(n-1)+1)a(n)^2-a(n)-a(n-1)^2-a(n-1)=0 (a(n)+a(n-1))(a(n)-a(n-1)-1)=0 各项均为正数的数列{an} a(n)=a(n-1)+1 2S(1)=2a(1)=a(1)(a(1)+1)a(1)=1 a(n)=n 1/√n=2/(2√n)>...
已知各项均为正数的数列{an}满足a1=3,且(2an+1-an)/(2an-an+1)=anan...
答：解：(1)∵(2a[n+1]-a[n])/(2a[n]-a[n+1])=a[n]a[n+1],n∈N ∴2a[n+1]-a[n]=a[n]a[n+1](2a[n]-a[n+1])∵{a[n]}是各项均为正数的数列 ∴两边同除以a[n]a[n+1]，得：2/a[n]-1/a[n+1]=2a[n]-a[n+1]即：a[n+1]-1/a[n+1]=2(a[n]-1/a...
已知各项均为正数的数列{an}的前项和为Sn,且Sn,an,1/2成等差数列。
答：1 Sn+1/2=2an S1=a1 a1+1/2=2a1,a1=1/2 (a2+1/2)+1/2=2a2 a2=1 2 Sn-1+1/2=2an-1 an=Sn-Sn-1=2(an-an-1)an/an-1=2 an=a1*2^(n-1)=(1/2)*2^(n-1)=2^(n-2)3 cn=4/2^(n-2)-2n/2^(n-2)=16/2^n-n/2^(n-3)c1=16/2-1/2^(-2)Tn=(...
已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=5,S3=155,求数列{an...
答：解：等比数列各项均为正数，公比q>0 S3=a1+a1q+a1q²=a1(1+q+q²)=5(1+q+q²)=155 q²+q+1=31 q²+q-30=0 (q+6)(q-5)=0 q=-6(<0，舍去)或q=5 an=a1q^(n-1)=5ⁿn=1时，a1=5，同样满足。数列{an}的通项公式为an=5ⁿ...
已知数列{an}各项均为正数,其前n项和为Sn,且满足4Sn=(an+1)2(1)求{...
答：（1）由题设条件知4Sn=（an+1）2，得4Sn+1=（an+1+1）2，两者作差，得4an+1=（an+1+1）2-（an+1）2．整理得（an+1-1）2=（an+1）2．又数列{an}各项均为正数，所以an+1-1=an+1，即an+1=an+2，故数列{an}是等差数列，公差为2，又4S1=4a1=（a1+1）2，解得a1=1，故...
