数列求和 1,1+2,1+2+3，...1+2+3+4+...+n 的前n项和Sn
利用“欧拉公式：1+1/2+1/3+……+1/n=ln(n)+C,C为欧拉常数数值是0.5772……
则1+1/2+1/3+1/4+...+1/2007+1/2008=ln(2008)+C=8.1821（约）
就不出具体数字的，如果n=100 那还可以求的 。然而这个n趋近于无穷 ，所以算不出的。
它是实数，所以它不是有理数就是无理数，而上两层的人说“谈不上到底是无理数还是有理数”的说法显然是错误的。而根据种种依据可判断它是无理数。
具体证明过程如下：
首先我们可以知道实数包括有理数和无理数，而有理数又包括有限小数和无限循环小数，有理数都可以划成两个有限互质整数相除的形式（整数除外）。而1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n (n为无限大)通分以后的分子和分母都是无穷大，不是有限整数，且不能约分，所以它不属于有理数，因此它是无理数。
而1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n (n为无限大)不存在循环节，不可能根据等比数列知识划成两个互质整数相除的形式。所以它终究是无理数。
这是有名的调和级数,是高数中的东西。这题目用n!
当n->∞，1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n->∞，是个发散级数
当n很大时，有个近似公式：1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n=γ+ln(n)
γ是欧拉常数，γ=0.57721566490153286060651209...
ln(n)是n的自然对数（即以e为底的对数,e=2.71828...）
由于ln(1+1/n)ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)
=ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n]
=ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1)
由于
lim Sn（n→∞）≥lim ln(n+1)（n→∞）=+∞
所以Sn的极限不存在，调和级数发散。
但极限S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）却存在，因为
Sn=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)-ln(n)
=ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)
由于
lim Sn（n→∞）≥lim ln(1+1/n)（n→∞）=0
因此Sn有下界
而
Sn-S(n+1)=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)-[1+1/2+1/3+…+1/(n+1)-ln(n+1)]
=ln(n+1)-ln(n)-1/(n+1)=ln(1+1/n)-1/(n+1)>ln(1+1/n)-1/n>0
所以Sn单调递减。由单调有界数列极限定理，可知Sn必有极限，因此
S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）存在。
扩展资料：
数列求和方法
1、倒序相加法
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1+an)。
2、分组法
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。
3、裂项相消法
适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加时抵消中间的许多项。
则Sn=b1+b2+...+bn
=1/2[(1^2+1)+(2^2+2)+...+(n^2+n)]
=1/2[(1^2+2^2+...+n^2)+(1+2+...+n)]
=1/2[n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2]
= n(n+1)(n+2)/6.
其中1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6，
1+2+...+n=n(n+1)/2， 这两个公式要记住的，这里用到的是数列求和中的‘分组求和法’
每一项都是等差数列求和。第n项是n(n+1)/2，展开后可以看作完全平方数列与等差数列，然后再求和。
现将分母变形(1＋2＋3＋…＋n)
变成n(n+1)/2
那么原来的式子=2/(1*2)+2/(2*3)+……+2/n(n+1)列项可得=2*（1-1/n+1)=2n/(n+1)
用第一项与最后一项相加=（n+1) 用第二项与倒数第二项相加=（n+1）等等 总共有2/n个（n+1） 所以Sn=n(n+1)/2
通项为an=n*(n+1)/2
想快的话可以用abel分部求和的有限形式
不了解abel的话。。。。。。可用分组求和
