1^2+2^2+3^2+4^2+....+n^2 的计算公式是什么
1^2+2^2+3^2+4^2+5^2………………+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1^2+2^2+3^2+4^2+5^2………………+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 谢谢
望采纳
1^2+2^2+3^2+4^2+....+n^2 的计算公式是n*(n+1)*(2n+1)/6。
解：1、因为当n=1时，1^2=1=1*(1+1)*(2x1+1)/6=1，
2、当n=2时，1^2+2^2=5=2*(2+1)*(2x2+1)/6=5，
3、设n=k（k≥2，k为正数）时，1^2+2^2+3^2+...+k^2=k*(k+1)*(2k+1)/6成立。
那么当n=k+1时，
1^2+2^2+3^2+...+k^2+(k+1)^2=k*(k+1)*(2k+1)/6+(k+1)^2，
而k*(k+1)*(2k+1)/6+(k+1)^2
=(k+1)*(k*(2k+1)/6+(K+1))
=(K+1)*(k*(2k+1)+6(k+1))/6
=1/6*(k+1)*(2k^2+7k+6)
=1/6*(k+1)*(2K+3)*(K+2)
=(k+1)*((K+1)+1)*(2(K+1)+1)/6，
即1^2+2^2+3^2+...+k^2+(k+1)^2=(k+1)*((K+1)+1)*(2(K+1)+1)/6也满是公式。
所以根据数学归纳法，对一切自然数n有1^2+2^2+3^2+4^2+....+n^2 的计算公式是n*(n+1)*(2n+1)/6。
扩展资料：
数列求和的方法
1、公式法
（1）等差数列求和公式：Sn=1/2*n（a1+an）=d/2*n+（a1-d/2）*n
（2）等比数列求和公式：Sn=na1（q=1）、Sn=a1*（1-q^n）/（1-q）（q≠1）
（3）自然数求和公式：（1+2+3+...+n）=n(n+1)/2
2、错位相减法
3、倒序相加法
4、裂项相消法
（1）1/（n*（n+1））=1/n-1/（n+1）
（2）1/（（2n-1）*（2n+1））=1/2（1/（2n-1）-1/（2n+1））
参考资料来源：百度百科-数列求和
S=(1/6)n(n+1)(2n+1)。
推导过程：
设S=1^2+2^2+....+n^2
(n+1)^3-n^3 = 3n^2+3n+1
n^3-(n-1)^3 = 3(n-1)^2+3(n-1)+1
...
2^3-1^3 = 3*1^2+3*1+1
把上面n个式子相加得：(n+1)^3-1 = 3* [1^2+2^2+...+n^2] +3*[1+2+....+n] +n
所以S= (1/3)*[(n+1)^3-1-n-(1/2)*n(n+1)] = (1/6)n(n+1)(2n+1)
扩展资料：
数列求和方法
1、分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列。
2、拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和。
3、错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和。
4、倒序相加：例如，等差数列前n项和公式的推导。
设S=1^2+2^2+....+n^2
(n+1)^3-n^3 = 3n^2+3n+1
n^3-(n-1)^3 = 3(n-1)^2+3(n-1)+1
...
..
...
2^3-1^3 = 3*1^2+3*1+1
把上面n个式子相加得：(n+1)^3-1 = 3* [1^2+2^2+...+n^2] +3*[1+2+....+n] +n
所以S= (1/3)*[(n+1)^3-1-n-(1/2)*n(n+1)] = (1/6)n(n+1)(2n+1)
简单计算一下即可，答案如图所示
设S=1^2+2^2+....+n^2 (n+1)^3-n^3 = 3n^2+3n+1 n^3-(n-1)^3 = 3(n-1)^2+3(n-1)+1 ... .. ... 2^3-1^3 = 3*1^2+3*1+1 把上面n个式子相加得：(n+1)^3-1 = 3* [1^2+2^2+...+n^2] +3*[1+2
自然数平方数列和立方数列求和公式怎么推导
答：(n+1)³-1=3Sn+3Tn+n 这就得到了Sn=n(n+1)(2n+1)/6 类似地，求立方和利用4次方公式：(n+1)^4-n^4=4n³+6n²+4n+1 例如：2^3= (1+1)^3 =1^3+3*1^2+3*1+1 3^3= (2+1)^3 =2^3+3*2^2+3*2+1 4^3= (3+1)^3 =3^3+3*3^2+3*3+...
1^2+2^2+3^2+4^2+...+n^2= 详细步骤谢谢
答：1^2+2^2+3^2+4^2+5^2………+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 利用立方差公式 n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]=n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n 2^3-1^3=2*2^2+1^2-2 3^3-2^3=2*3^2+2^2-3 4^3-3^3=2*4^2+3^2-4 .n^3-(n...
1^2+2^2+3^2+4^2+……+n^2 怎么算
答：1^2+2^2+3^2+4^2+5^2………+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 利用立方差公式 n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]=n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n 2^3-1^3=2*2^2+1^2-2 3^3-2^3=2*3^2+2^2-3 4^3-3^3=2*4^2+3^2-4 .n^3-(n...
1^2+2^2+3^2+4^2……+n^2
答：求^2就从^3入手,求^3就从^4入手,求^t就从^(t+1)入手 因为(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1 所以2^3=1^3+3*1^2+3*1+1 3^3=2^3+3*2^2+3*2+1 ……(n+1)^3=n^3+3n^2+2n+1 <一共有n个等式> 所以2^3+3^3+……+(n+1)^3=1^3+2^3+……+3*(1^2+2^2+…...
数学高手进 1^2+2^2+3^2+4^2+...+n^2=??
答：4^3 - 3^3 = 3*3^2 + 3*3 + 1 5^3 - 4^3 = 3*4^2 + 3*4 + 1 ……(n+1)^3 - n^3 = 3*n^2 + 3n + 1 把上述各等式左右分别相加 得到：(n+1)^3 - 1^3 = 3*(1^2+2^2+3^2+……+n^2) + 3*(1+2+3+……+n) + n*1 n^3 + 3n^2 + 3n +...
1^2+2^2+3^2+4^2+...n^2=?
答：1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6.证明:由两数立方和公式:(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1 n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1 (n-1)^3-(n-2)^3=3(n-1)^2+3(n-2)+1 ………3^3 -2^3=3*2^2 +3*2 +1 2^3 -1^3=3*1^3 +3*1 +1^3 以上...
1^2+2^2+3^2+4^2+5^2一直加到1010的平方等于多少?
答：1^2+2^2+3^2+……+1010^2 =1010×1011×2021/6 =170185×2021 =343943885.
1^2+2^2+3^2+4^2加,到12的平方,等于几?
答：12x（12+1）x（12x2+1）/6=650 连续自然数的平方和=n*（n+1）*（2n+1）÷6
1^2+2^2+4^2+5^2+7^2+8^2+10^2+11^2+13^2+14^2+16^2 数学难题计算(简算...
答：- 3^2 - 6^2 - ... 15^2 = 1加到16的平方和 - 3^2（1 + 2^2 - ... 5^2）如果没学过平方和的话：n^2 + (n+1)^2 = 2n^2 + 2n + 1 而(n+2)^3 - (n-1)^3 = 9n^2 + 9n + 9 所以n^2 + (n+1)^2 = [ (n+2)^3 - (n-1)^3 ]*2/9 - 1 ...
C语言:求1^2+2^+3^2+...+n^2的值,要求如下,咋编?
答："1^2+2^2+3^2+4^2": t==3 ? "1^2+2^2+3^2" : t==2 ? "1^2+2^2" : "1^2",n);printf(" = %g\n",n*(n+1)*(n+n+1)/6);//利用公式=n*(n+1)*(2n+1)/6 } else puts("Input error, exit...");return 0;} 用for循环的话，当n很大时可能很慢。
