求1.1.2.3.5.8.13通项公式
斐波那契数列,“斐波那契数列”的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年。籍贯大概是比萨）。他被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年，他撰写了《珠算原理》(Liber Abaci)一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。
斐波那契数列指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21……
这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。它的通项公式为：(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}【√5表示根号5】
很有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。
【该数列有很多奇妙的属性】
比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887……
还有一项性质，从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。
如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故作惊讶地问你：为什么64＝65？其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到。
如果任意挑两个数为起始，比如5、-2.4，然后两项两项地相加下去，形成5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、8.8、14.6……等，你将发现随着数列的发展，前后两项之比也越来越逼近黄金分割，且某一项的平方与前后两项之积的差值也交替相差某个值。
斐波那契数列的第n项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数。
【斐波那契数列别名】
斐波那契数列又因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。
斐波那契数列
一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？
我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：
第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对;
两个月后，生下一对小兔民数共有两对;
三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对;
－－－－－－
依次类推可以列出下表：
经过月数：0123456789101112
兔子对数：1123581321345589144233
表中数字1，1，2，3，5，8－－－构成了一个数列。这个数列有关十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。
这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在＜算盘全书＞中提出的，这个级数的通项公式，除了具有a(n+2)=an+a(n+1)/的性质外，还可以证明通项公式为：an=1/√[（1＋√5/2) n-(1-√5/2) n](n=1,2,3.....）
【斐波那挈数列通项公式的推导】
斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21……
如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+)。那么这句话可以写成如下形式：
F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)
显然这是一个线性递推数列。
通项公式的推导方法一：利用特征方程
线性递推数列的特征方程为：
X^2=X+1
解得
X1=(1+√5)/2, X2=(1-√5)/2.
则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n
∵F(1)=F(2)=1
∴C1*X1 + C2*X2
C1*X1^2 + C2*X2^2
解得C1=1/√5，C2=-1/√5
∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}【√5表示根号5】
通项公式的推导方法二：普通方法
设常数r,s
使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
则r+s=1, -rs=1
n≥3时，有
F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]
F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]
……
F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]
将以上n-2个式子相乘，得：
F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]
∵s=1-r，F(1)=F(2)=1
上式可化简得：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
那么：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3)
……
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)
（这是一个以s^(n-1)为首项、以r^(n-1)为末项、r/s为公差的等比数列的各项的和）
=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)
=(s^n - r^n)/(s-r)
r+s=1, -rs=1的一解为 s=(1+√5)/2, r=(1-√5)/2
则F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}
公元1202年,意大利数学家斐波那契提出了一个智力题:第一个月买回一对小兔子,第二个月小兔长成大兔,第三个月生下一对小兔,小兔一个月后长成大兔,大兔每月都能生一对小兔,买兔养兔人家各月兔子的对数为 1,1,2,3,5,8,13,21,....... 谁能往下写得多,谁聪明,这个智力游戏当时十分流行,这个数列就称为斐波那契数列,后来,斐波那契给出了这个数列的递推公式: a1=1,a2=1,a(m+2)=a(m+1)+am,(m≥1,m∈Z) 后来人们想找到数列的通项公式,但很久未成功,直到二百多年后,法国数学家比内终于得出了通项公式: an={[(√5+1)^n]/2-[(1-√5)^n]/2]}÷√5 一个以正整数为项的数列通项竟是含无理数的复杂分式,令人称奇! 希望帮到你o(∩_∩)o 不懂追问哦
裴波那契数列的证明[ 2006-4-29 12:35:50 | By: 源少 ]
裴波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，。。。
裴波那契数列递推公式：F(n+2) = F(n+1) + F(n)
F(1)=F(2)=1。
它的通项求解如下：
F(n+2) = F(n+1) + F(n) => F(n+2) - F(n+1) - F(n) = 0
令 F(n+2) - aF(n+1) = b(F(n+1) - aF(n))
展开 F(n+2) - (a+b)F(n+1) + abF(n) = 0
显然 a+b=1 ab=-1
由韦达定理知 a、b为二次方程 x^2 - x - 1 = 0 的两个根
解得 a = (1 + √5)/2，b = (1 -√5)/2 或 a = (1 -√5)/2，b = (1 + √5)/2
令G(n) = F(n+1) - aF(n)，则G(n+1) = bG(n)，且G(1) = F(2) - aF(1) = 1 - a = b，因此G(n)为等比数列，G(n) = b^n ，即
F(n+1) - aF(n) = G(n) = b^n --------(1)
在(1)式中分别将上述 a b的两组解代入，由于对称性不妨设x = (1 + √5)/2，y = (1 -√5)/2，得到：
F(n+1) - xF(n) = y^n
F(n+1) - yF(n) = x^n
以上两式相减得：
(x-y)F(n) = x^n - y^n
F(n) = (x^n - y^n)/(x-y) = {[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}/√5
...每一个数都是前两个数的和。也就是:1.1.2.3.5.8.
答：这个是著名的斐波那契数列，奇偶关系是齐齐偶、齐齐偶、齐齐偶、齐齐偶……所以答案是67个奇数，33个偶数。通项公式比较复杂，有兴趣可以看看。
1.1.2.3.5.8.13.21的规律是什么?
答：例如：1+2=3；2+3=5；3+5=8……以此类推。
1.1.2.3.5.8.13.21的规律是什么?
答：数字的规律是：从第三位开始，当前数字是前两个数字的和，即an=a(n-1)+a(n-2)，n≥3。即：1、2=1+1 2、3=2+1 3、5=3+2 4、8=5+3 5、13=8+5 6、21=13+8 如果需要求得下一位数字，即可用21+13，得到34。规律技巧1、递增题型的特点主要是数字和数字之间呈递增状态，一般情况...
1.1.2.3.5.8.13...的规律是什么?
答：规律是：任取连续的三个数，前两个数相加等于第三个数。某项等于前两项的和，1+1=2；1+2=3；2+3=5；3+5=8；5+8=13。具体方法如下：斐波纳契数列，定义：F0=0，F1=1，Fn=F(n-1)+F( n-2)（n>=2，n∈N*）参考资料 斐波纳契.斐波纳契数列.美国：美国，1202 ...
1.1.2.3.5.8...
答：1，1，2，3，5，8……这串数裏隐含著一个规律：从第3个数起，后面的每个数都是它前面那两个数的和。而根据这个规律，只要作一些简单的加法，就能推算出以后各个月兔子的数目了。按照这个规律推算出来的数，构成了数学史上一个有名的数列。大家都叫它“斐波拉契数列”。这个数列有许多奇特的的...
1.1.2.3.5.8.13.21.34...根据这列数排列的特征,第34个数后面的两个数...
答：规律：前两个数相加等于第三个数。例如：1+1=2，1+2=3，2+3=5，3+5=8 根据这个原理，可以很容易地推算出，第34个数：4552942。第35个数：7366815。第36个数：11919757。
数列1.1.2.3.5.8.13.21.34...一共2010项 其中 项是六的倍数
答：考察这列数除以6的余数，分别为：1,1,2,3,5,2,1,3,4,1,5,0,5,5,4,3,1,4,5,3,2,5,1,0,1,1,2,3.。。。1,1,2,3,5,2,1,3,4,1,5,0,5,5,4,3,1,4,5,3,2,5,1,0循环，每组24个 每个循环里面有两个是6的倍数，分别是第12个和第24个 2010÷24=83.75 0.75...
数列1.1.2.3.5.8...从第三个数开始每个数都等于它前面两个数之和...
答：求此数被2除、被5除的余数情况即可推得。这个数列被2除的情况，也有类似后项 = 前两项之和被2除的余数的性质，顺次为：1、1、0、1、1、0、1、1、0……以【1、1、0】三数一循环 被5除的情况同样有：1、1、2、3、0、3、3、1、4、0、4、4、3、2、0、2、2、4、1、0、1、1、...
一串数排成一行:1.1.2.3.5.8.13.21.34.55...到这串数的前一百个数中...
答：这是一个周期问题，顺序为奇奇偶，100/3=33...1，最后一个为奇所以有33*1=33个偶数。
一串数:1.1.2.3.5.8.13.21.34.55...问这一串数的前100000个数中(含第...
答：每3个数有1个偶数，所以答案是100000/3=33333个
