数列求和: 1,11,111,......,1***1(当中n个1)
数列求和Sn=1+11+111+1111+...+1111...111(n个1）~
=1+(10+1)+(10^2+10+1)+(10^3+10^2+1)+...+[10^n+10^(n-1)+...1]
=1×n+10(n-1)+10^2(n-2)+...+10^n[n-(n-1)]
设Sn=1×n+10(n-1)+10^2(n-2)+...+10^n (1)
10sn=10+10^2(n-1)+10^3(n-2)+...+10^(n+1)n(2)
∴(1)-(2):
-9Sn=n+[10+10^2+10^3+10^n]-10^(n+1)n
-9Sn=n-10^(n+1)+{10[1-10^n]/(1-10)}
={n-10^(n+1)}-{10[1-10^n]/9}
∴Sn={-{n-10^(n+1)}/9}-{10[1-10^n]/81}
=10^(n+1)/9-(n/9)-{10[1-10^n]/81}
原式=1+(10+1)+(10^2+10+1)+...+(10^(n-1)+10^(n-2)+...+10+1)
=n*1+(n-1)*10+(n-2)*10^2+...+(n-(n-1))*10^(n-1)=s
上式两边同乘以10得：
10s=n*10+(n-1)*10^2+...+(n-(n-2))*10^(n-1)+(n-(n-1))*10^n
两式相减得：
9s=-n+10+10^2+...+10^(n-1)+10^n=-n+10*(1-10^n)/(1-10){等比数列前n项和}
最后可得：s=-(10*(1-10^n)/9 + n)/9
可以看到各位上的1出现了n次，十位上的1出现了n-1次，以下类推
所以Sn=n+（n-1）*10+（n-2）*100+....+2*10^(n-1)+10^n
通项为An=(10^n-1)/9
Sn={[(10^n-1)/9]*10-n}/9
9*Sn1=Sn2，且Sn1+Sn2=11……10（n+1个1，一个0）。所以Sn1=1111……1（n+1个）
可知通向公式：an=1/9*(10^n -1)
则：Sn=1/9*(10^1+10^2+10^3+……+10^n -n )
=1/9*[10*(1-10^n)/(1-10) -n]
=[10^(n+1)-10]/81 -n/9
注：等比数列求和：Sn=首项*(1-q^n)/(1-q)
也就是 Sn=10^1+10^2+10^3+……+10^n=10*(1-10^n)/(1-10)
=1+(10+1)+(10^2+10+1)+(10^3+10^2+1)+...+[10^n+10^(n-1)+...1]
=1×n+10(n-1)+10^2(n-2)+...+10^n[n-(n-1)]
设Sn=1×n+10(n-1)+10^2(n-2)+...+10^n (1)
10sn=10+10^2(n-1)+10^3(n-2)+...+10^(n+1)n(2)
∴(1)-(2):
-9Sn=n+[10+10^2+10^3+10^n]-10^(n+1)n
-9Sn=n-10^(n+1)+{10[1-10^n]/(1-10)}
={n-10^(n+1)}-{10[1-10^n]/9}
∴Sn={-{n-10^(n+1)}/9}-{10[1-10^n]/81}
=10^(n+1)/9-(n/9)-{10[1-10^n]/81}
原式=1+(10+1)+(10^2+10+1)+...+(10^(n-1)+10^(n-2)+...+10+1)
=n*1+(n-1)*10+(n-2)*10^2+...+(n-(n-1))*10^(n-1)=s
上式两边同乘以10得：
10s=n*10+(n-1)*10^2+...+(n-(n-2))*10^(n-1)+(n-(n-1))*10^n
两式相减得：
9s=-n+10+10^2+...+10^(n-1)+10^n=-n+10*(1-10^n)/(1-10){等比数列前n项和}
最后可得：s=-(10*(1-10^n)/9 + n)/9
可以看到各位上的1出现了n次，十位上的1出现了n-1次，以下类推
所以Sn=n+（n-1）*10+（n-2）*100+....+2*10^(n-1)+10^n
通项为An=(10^n-1)/9
Sn={[(10^n-1)/9]*10-n}/9
