如图 ，已知直线 L过点A（0，1）和B（1，0），P是x轴正半轴上的动点，OP的垂直平分线交L于点Q，交x轴于点
由题意得（1）y=1-x；（2）∵OP=t，∴Q点的横坐标为12t，①当0＜12t＜1，即0＜t＜2时，QM＝1?12t，∴S△OPQ=12t（1-12t）．②当t≥2时，QM=|1-12t|=12t-1，∴S△OPQ=12t（12t-1）．∴S＝12t(1?12t)，0＜t＜212t(12t?1)，t≥2当0＜12t＜1，即0＜t＜2时，S=12t（1-12t）=-14（t-1）2+14，∴当t=1时，S有最大值14；（3）由OA=OB=1，所以△OAB是等腰直角三角形，若在L1上存在点C，使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形，则PQ=QC，所以OQ=QC，又L1∥x轴，则C，O两点关于直线L对称，所以AC=OA=1，得C（1，1）．下面证∠PQC=90度．连CB，则四边形OACB是正方形．①当点P在线段OB上，Q在线段AB上（Q与B、C不重合）时，如图-1．由对称性，得∠BCQ=∠QOP，∠QPO=∠QOP，∴∠QPB+∠QCB=∠QPB+∠QPO=180°，∴∠PQC=360°-（∠QPB+∠QCB+∠PBC）=90度．②当点P在线段OB的延长线上，Q在线段AB上时，如图-2，如图-3∵∠QPB=∠QCB，∠1=∠2，∴∠PQC=∠PBC=90度．③当点Q与点B重合时，显然∠PQC=90度．综合①②③，∠PQC=90度．∴在L1上存在点C（1，1），使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形．
解答：解：（1）如图2，连接OP．S△PAB=S△PAO=12xy=12×6=3；（2）如图1，∵四边形BQNC是菱形，∴BQ=BC=NQ，∠BQC=∠NQC，∵AB⊥BQ，C是AQ的中点，∴BC=CQ=12AQ，∴∠BQC=60°，∠BAQ=30°，在△ABQ和△ANQ中，BQ＝NQ∠BQA＝∠NQAQA＝QA，∴△ABQ≌△ANQ（SAS），∴∠BAQ=∠NAQ=30°，∴∠BAO=30°，∵S菱形BQNC=23=12×CQ×BN，令CQ=2t=BQ，则BN=2×（2t×32）=23t，∴t=1∴BQ=2，∵在Rt△AQB中，∠BAQ=30°，∴AB=3BQ=23，∵∠BAO=30°∴OA=32AB=3，又∵P点在反比例函数y=6x的图象上，∴P点坐标为（3，2）；（3）∵OB=1，OA=3，∴AB=10，易得△AOB∽△DBA，∴OBOA＝ABBD，∴BD=310，①如图3，当点Q在线段BD上，∵AB⊥BD，C为AQ的中点，∴BC=12AQ，∵四边形BQNC是平行四边形，∴QN=BC，CN=BQ，CN∥BD，∴CNQD=ACAQ=12，∴BQ=CN=13BD=10，∴AQ=AB2+BQ2=25，∴C四边形BQNC=210+25；②如图4，当点Q在射线BD的延长线上，∵AB⊥BD，C为AQ的中点，∴BC=CQ=12AQ，∴平行四边形BNQC是菱形，BN=CQ，BN∥CQ，∴△BND∽△QAD∴BDQD=BNAQ=12，∴BQ=3BD=9<
| （1） ； | |
