手算开根号
开根号的手算方法是基于(A*10+B)^2=100A^2+20AB+B^2=100A^2+B(20A+B)
设根号的第一位是A,这个可以直接看出,那么第二位B要满足B(20A+B)小于并接近原数减A^2的余数
其中(20A+B)我定义为除数
以根号2为例,介绍一下手式开方的方法
1)首先是补0,要补精确位数乘以2个0,且如根号2保留4位小数,要补8个0
1 ___________1就是A
------------------
√2.00' 00' 00 '00'
1 ____________1是A^2
----------------------------
1 00 _____________原数与A^2的差
要把A乘以20,这里是把1乘以20,在A后面上B,B要满足B(20A+B)
一、分为整数开平方和小数开平方。 1、整数开平方步骤： （1）将被开方数从右向左每隔2位用撇号分开；
（2）从左边第一段求得算数平方根的第一位数字；
（3）从第一段减去这个第一位数字的平方，再把被开方数的第二段写下来，作为第一个余数；
（4）把所得的第一位数字乘以20，去除第一个余数，所得的商的整数部分作为试商（如果这个整数部分大于或等于10，就改用9左试商，如果第一个余数小于第一位数字乘以20的积，则得试商0）；
（5）把第一位数字的20倍加上试商的和，乘以这个试商，如果所得的积大于余数时，就要把试商减1再试，直到积小于或等于余数为止，这个试商就是算数平方根的第二位数字；
（6）用同样方法继续求算数平方根的其他各位数字。 2、小数部分开平方法： 求小数平方根，也可以用整数开平方的一般方法来计算，但是在用撇号分段的时候有所不同，分段时要从小数点向右每隔2段用撇号分开。
如果小数点后的最后一段只有一位，就填上一个0补成2位，然后用整数部分开平方的步骤计算。
二、
1.根据平方和（立方和）公式手算开平方（开立方）。以往初中教材上必学的手算开平方就是此法，开立方也可类似处理。
2.利用二分法以及不等式两边夹，如求2的平方根
1）1^2<2<2^2
2)(1.4)^2<2<(1.5)^2
......
此法运算量大。
3.利用微分求近似值——由于此法误差不可控，可结合前一方法逐步提高精度，计算量比前一方法小。
4.原始的泰勒展开，计算量大，误差可控。
5.变形的泰勒展开，计算方法里的。
参考链接：数学资源
1.
假如你想约等小数点后4位，则将3写成3,00,00,00,00；
2.
首先是前面的3，取一个正整数的平方最接近3，但是不等大于3，很明显是1；
3.
3-1=2，把00拉下来，则是200，上面的1*20=20，取一个个位整数，则是二十几*几小于或者等于200，可以看出是27*7=189<200；
4.
200-189=11，把第二次的00拉下来，则是1100了，上面的计算到了17,17*20=340，取一个个位整数，则是三百四十几*几小于或等于1100，可以看出是343*3=1029<1100；
......
以此类推，可以真正的精确的精算出，根号3等于多少。虽然现在的计算器相当的普遍，但是这是数学家的结晶，所以学学也无妨。提醒大家的是，那个乘以20是固定的，没有理由，就好像你说圆周率为什么是这个数，我也不清楚。如果不明白，可以来问问我。
假设被开放数为a，如果用sqrt（a）表示根号a那么[sqrt(x)-sqrt(a/x)]^2=0的根就是sqrt（a）
变形得
sqrt(a)=（x+a/x）/2
所以你只需设置一个约等于（x+a/x）/2的初始值，代入上面公式，可以得到一个更加近似的值，再将它代入，就得到一个更加精确的值……依此方法，最后得到一个足够精度的（x+a/x）/2的值。
如：计算sqrt(5)
设初值为2
1）sqrt(5)=(2+5/2)/2=2.25
2）sqrt(5)=(2.25+5/2.25)/2=2.236111
3）sqrt(5)=(2.236111+5/2.236111)/2=2.236068
这三步所得的结果和sqrt(5)相差已经小于0.001
√2=1.414，√3=1.732，√5=2.236，
这几个常用的，记住就好了。
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