已知数列｛an｝中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=(n+1)/2an+1（n∈N*）
首先麻烦楼主下次把下标标好，至少打个括号，如a(n+1),经过验证，是表示这种意思，否则后面的项都是0
对于这道题肯定有许多人没看清楚题目，其实是这样的：
这题答案是 a(1)=a(2)=1,a(n)=2/n*3^(n-2)
我简要地说一下
对于题目的等式，变量分别取n和n-1得两个式子，相减化简得到a(n)/a(n-1)=(n-2)/(n-1).
注意到a(1)=a(2)=1,a(3)=2,a(3)/a(2)是满足此条件的起始项，然后累乘就得到想要的答案，注意项数
a1=1,a1+2a2+3a3+....+nan=(n+1)(a(n+1))/2,
令n=1得：a1=2a2/2, a2=1.
当n≥2时，a1+2a2+3a3+....+(n-1)a(n-1)=na(n)/2,
两式相减得：nan=(n+1)(a(n+1))/2 -na(n)/2,
3na(n)/2=(n+1)(a(n+1))/2，
a(n+1) /a(n)= 3n/(n+1)( n≥2),
所以a3/a2=3•2/3,
a4/a3=3•3/4,
a5/a4=3•4/5,
…………
a(n) /a(n-1)= 3(n-1)/n
以上各式相乘得：a(n) / a2=3^(n-2)•2/n( n≥2),
a(n)=3^(n-2)•2/n ( n≥2),
综上可知：n=1时，a(n)=1.
n≥2时，a(n)=3^(n-2)•2/n.
n≥2时，
a1+2a2+3a3+...+nan=[(n+1)/2]a(n+1) (1)
a1+2a2+3a3+...+(n-1)a(n-1)=(n/2)an (2)
(1)-(2)
nan=[(n+1)/2]a(n+1)-(n/2)an
(n+1)a(n+1)=3nan
[(n+1)a(n+1)]/(nan)=3，为定值
a1×1=1×1=1，数列{nan}是以1为首项，3为公比的等比数列
nan=1×3^(n-1)=3^(n-1)
an=3^(n-1)/n
n=1时，a1=1/1=1，同样满足通项公式
数列{an}的通项公式为an=3^(n-1)/n
2.
n^2·an=n^2·[3^(n-1)/n]=n·3^(n-1)
Tn=1×1+2×3+3×3²+...+n×3^(n-1)
3Tn=1×3+2×3²+...+(n-1)×3^(n-1)+n×3ⁿ
Tn-3Tn=-2Tn=1+3+...+3^(n-1)-n×3ⁿ
=1×(3ⁿ-1)/(3-1) -n×3ⁿ
=[(1-2n)×3ⁿ-1]/2
Tn=[(2n-1)×3ⁿ +1]/4
3.
[a(n+1)/(n+2)]/[an/(n+1)]
=[3ⁿ/(n+1)(n+2)]/[3^(n-1)/n(n+1)]
=3n/(n+2)
n≥1 n/(n+2)≤1/3，当且仅当n=1时取等号
3n/(n+2)≤1，当且仅当n=1时取等号
即对数列{an/(n+1)}， a1/2=a2/3，当n≥2时，{an/(n+1)}单调递减
a1/2=1/2
要不等式an≤(n+1)λ对任意正整数n恒成立，即an/(n+1)≤λ对任意正整数n恒成立，只需当an/(n+1)取最大值时不等式成立。
λ≥1/2，λ的最小值为1/2
a(1)=1,
a(1)+2a(2)+...+na(n) = (n+1)a(n+1)/2, a(1) = 2a(2)/2, a(2)=1.
a(1)+2a(2)+...+na(n)+(n+1)a(n+1) = (n+2)a(n+2)/2 = (n+1)a(n+1)/2 + (n+1)a(n+1)=3(n+1)a(n+1)/2,
(n+2)a(n+2) = 3(n+1)a(n+1),
{(n+1)a(n+1)}是首项为2a(2)=2, 公比为3的等比数列。
(n+1)a(n+1) = 2*3^(n-1) = (2/9)3^(n+1)
a(n+1) = (2/9)3^(n+1)/(n+1),
{a(n)}的通项公式为:
a(1)=1,
n>=2时，a(n) = (2/9)3^n/n = (2*3^n)/(9n)
b(n) = n^2a(n),
b(1) = a(1)=1,
n>=2时，b(n)=(2n/9)*3^n = 2n*3^(n-2),
t(1)=b(1)=1,
n>=2时，
t(n) = b(1)+b(2)+b(3)+...+b(n-1)+b(n)
= 1 + 2*2*1 + 2*3*3 + ... + 2(n-1)*3^(n-3) + 2n*3^(n-2),
3t(n) = 3 + 2*2*3 + 2*3*3^2 + ... + 2(n-1)*3^(n-2) + 2n*3^(n-1),
2t(n) = 3t(n)- t(n) = 2 - 2*2 - 2*3 - ... - 2*3^(n-2) + 2n*3^(n-1)
= 2n*3^(n-1) - 2*1 - 2*3 - ... - 2*3^(n-2)
= 2n*3^(n-1) - 2[1+3+...+3^(n-2)]
= 2n*3^(n-1) - 2[3^(n-1)-1]/(3-1)
= 2n*3^(n-1) - 2[3^(n-1)-1]/2,
t(n) = n*3^(n-1) - [3^(n-1)-1]/2 = [(2n-1)*3^(n-1) + 1]/2.
t(1)=1,
n>=2时，t(n) = [(2n-1)*3^(n-1) + 1]/2.
c(n) = a(n)/(n+1),
c(1) = a(1)/2 = 1/2.
n>=2时，c(n) = (2/9)3^n/[n(n+1)] >0.
c(n+1) = (2/9)3^(n+1)/[(n+1)(n+2)],
c(n+1)/c(n) = 3n/(n+2) = (n+2-2+2n)/(n+2) = 1 + 2(n-1)/(n+2)>1.
n>=2时，c(n+1)>c(n), {c(n),n>=2}单调递增 。c(n)>=c(2)=(2/9)3^2/[2*3] = 1/3.
c(1)=1/2>1/3.
因此，Lamda 的最小值=1/3.
已知数列{an}中,a1=1
答：a1＝1 a2＝a1 + 2×1 - 1 a3＝a2 + 2×2 - 1 ……an＝a(n-1) + 2×(n-1)-1 。 （n≥2）上面各式两端分别相加得：S(n)＝1 + S(n-1) + 2×[1+2+3…+(n-1)] - (n-1)则 an＝S(n)-S(n-1)＝1 + 2×[1+2+3…+(n-1)] - (n-1)＝ n^2 - 2n + ...
已知数列{an}中,a1=1
答：∴S(n+1)=(n+1+2/3)a(n+1) (2)(2)-(1):a(n+1)=S(n+1)-Sn=(n+5/3)a(n+1)-(n+2/3)an ∴(n+2/3)a(n+1)=(n+2/3)an ∴a(n+1)=an 那么{an}为常数列呀！再检查输入
数列{an}中,已知a1=1,a2=5,an+2=5 an+1-4an(1)证明数列an+1-an是等 ...
答：a2-a1=4^1 左右累加 a(n+ 1)-a1=[4^(n)+4^(n-2)+……+4^1]=4(4^n-1)/(4-1)=4/3*(4^n-1)a(n+1)=4/3*(4^n-1)+a1=4/3*4^n-1/3 an的表达式 a(n)=4/3*4^(n-1)-1/3
已知{an}中,a1=1,an+1/an=1/2,求数列{an}的通项公式
答：由an＋1/an＝1/2可知，该数列为 等比数列 因为a1＝1 所以an＝a1＊公比的（n－1）次方 an＝2的（n－1）次方
在数列{an}中,已知a1=1,a(n+1)=2an+1,求数列{an}的通项公式
答：2an + 1 ∴a(n+1)+ 1 = 2an + 2 a(n+1)+ 1 = 2(an + 1)令bn=an + 1 ，则上式化为：b(n+1)= 2bn ∴有b(n+1)/ bn =2 b1=a1 + 1 =2 ∴数列{bn}是一个以2为首项，公比为2的等比数列。则bn=2*2^(n-1)=2^n ，∵an + 1 =bn =2^n ∴an=2^n - 1...
已知数列{an}满足a1=1,a2=3Sn为数列an的前n项和,Tn为数列{an+an+1}的...
答：首先可以得出数列的前四项为：a1=1, a2=3, a3=6, a4=10。由此可得，第n项可以表示为：an = n(n-1)/2。接着计算{an+an+1}的前n项和，得到：Tn = (n-1)n(n+1)/2。因此，该数列的通项公式为：an = n(n-1)/2，其相邻两项之和的前缀和为Tn = (n-1)n(n+1)/2。
在数列an中已知a1=1,且满足an+1-an=an/n+1,求通项公式
答：∵a(n+1)-an=an/(n+1)∴a(n+1)=an*(n+2)/(n+1)∴a(n+1)/an=(n+2)/(n+1)那么an/a(n-1)=(n+1)/n a(n-1)/a(n-2)=n/(n-1)………a3/a2=4/3 a2/a1=3/2 累乘，得：an/a1=(n+1)/2 而a1=1，所以an=(n+1)/2 ...
已知数列{an}中(1)a1=1,且anan+1=2^n,求通项公式
答：anan+1=2^n an-1 an=2^(n-1)故an+1/an-1=2 所以隔项成等比数列 当n为偶数时，an=a2*2^(n/2 -1)=2^(n/2)当n为奇数时，an=a3*2^[(n-1)/2 -1]=2^[(n-1)/2]又n=1时符合式子2^[(n-1)/2]故通项公式为：an=2^[(n-1)/2](n为奇数）；an=2^(n/2)(n为...
已知数列{an}中(1)a1=1,且anan+1=2^n,求通项公式
答：anan+1=2^n ana(n-1)=2^(n-1)两式相除 a(n+1)/a(n-1)=2 所以数列的偶数项,奇数项各自成等比数列.a1=1,a2=2 所以a(2n)=2^n a(2n-1)=2^(n-1)所以an=2^(n/2),n是偶数 2^((n-1)/2),n是奇数 讨论奇数偶数,是因为a(n+1),a(n-1)的项数相差为2,并不是相邻两项...
2.已知正项等比数列{an }中, a1=1,Sn 为{an}前n项和, S5=5S3-4, 则?
答：已知正项等比数列 {an} 中，a1=1，Sn 为 {an} 前 n 项和，S5=5S3-4。我们需要找出数列的公比 r，并求出数列的通项公式。首先，我们知道数列的前 n 项和公式为：Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)其中，a1=1 是首项，r 是公比。因为是等比数列，所以每一项与前一项的比值都是...
